Giả sử một doanh nghiệp có hàm doanh thu và hàm chi phí được cho bởi: TR=20Q+3Q^{2}TC=Q^{2}+10Q + 5. Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất Q = 20 sản phẩm là:
Select one:
a. 1600
b. 605
c. 995
d. 2205
Cho hàm số y = 5x^2 - 4 \cos x + 3. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = 10x - 4 \sin x
b. y' = 10x - 4 \sin x + 3
c. y' = 10x + 4 \sin x
d. y' = 10x + 4 \sin x + 3
Cho hàm số y = (5x^2 - 3x - 1)^6. Đạo hàm y'(1) có giá trị là:
Select one:
a. 42
b. 6
c. -42
d. 1
Cho hàm số y = \frac{e^{\sqrt{|x|}}}{x^2 + 1}. Tập xác định của hàm số là:
Select one:
a. (0, +\infty)
b. (-\infty, 0)
c. (-1, +\infty)
d. \mathbb R
Cho hàm số y = (3x^3 - 5x + 1). \sin x. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = (9x^2 - 5) \sin x
b. y' = (9x^2 - 5) \sin x + (3x^3 - 5x + 1) \cos x
c. y' = (9x^2 - 5) \cos x
d. y' = (3x^3 - 5x + 1) \cos x
Cho hàm số y = \sin(2x - 5). Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = \cos(2x - 5)
b. y' = \sin(2)
c. y' = 2.\sin(2x - 5)
d. y' = 2.\cos(2x - 5)
Cho hàm số y = 2x^3 - 5x^2 + x -4. Đạo hàm y'(1) có giá trị là:
Select one:
a. -6
b. -3
c. -4
d. 3
Cho hàm số y = \ln(2x^2 - 5x + 8). Tập xác định của hàm số là:
Select one:
a. [2, +∞)
b. (2,+∞)
c. \mathbb R
d. (-∞, 2]
Cho hàm số y = \sin(\cos x). Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = \sin (-\cos x)
b. y' = \cos (\cos x)
c. y' = -\sin x \sin (\cos x)
d. y' = -\sin x \cos (\cos x)
Đạo hàm của hàm số y = \tan^3(6x) là:
Select one:
a. y' = \frac{3\tan^2(6x)}{\cos^2(6x)}
b. y' = 3\tan^2(6x)
c. y' = \frac 6 {\cos^2(6x)}
d. y' = \frac{18\tan^2(6x)}{\cos^2(6x)}
Cho y=e^{\sqrt x}. Đạo hàm cấp 2 của y là:
Select one:
a. y^{"} = \frac{e^{\sqrt x}} 4 \left(\frac 1 x - \sqrt x \right)
b. y^{"} = e^{\sqrt x}
c. y^{"} = \frac{e^{\sqrt x}} 4 \left(\frac 1 x - \frac 1 {\sqrt x^3} \right)
d. y^{"} = \frac{e^{\sqrt x}} 4 \left(\frac 1 {\sqrt x^3} - \frac 1 x \right)
Cho hàm f(x) = \sqrt x, g(x) = e^x (x - 1). Đạo hàm của hàm h(x) = g(f(x)) là:
Select one:
a. e^{\sqrt x}(\sqrt x - 1).
b. \frac 1 {2\sqrt x} e^{\sqrt x}.
c. \sqrt{e^x (x - 1)}.
d. \frac 1 2 e^{\sqrt x}.
Biểu thức vi phân của hàm số y = x^x, x > 0 là:
Select one:
a. dy=x.x^{x-1}dx
b. dy=x^{x}.\ln x.dx
c. dy=x^{x}. \left( 1+\ln x \right) .dx
d. dy=x^{x}dx
Cho hàm số y = \sqrt{\frac{2x+1}{x + 1}}. Giá trị y'(1) là:
Select one:
a. y'(1) = \frac 1 {8\ \sqrt {\frac 3 2}}
b. y'(1) = \frac 1 {2\sqrt {\frac 3 2}}
c. y'(1) = \frac 1 {6\ \sqrt {\frac 3 2}}
d. y'(1) = \frac 1 {4\ \sqrt {\frac 3 2}}
Đạo hàm của y = (2x - 1).\tan(1 - 4x) là:
Select one:
a. y'=\frac{-8}{\cos^2(1-4x)}
b. y'=\frac{2x-1}{\cos^2(1-4x)}
c. y'=2\tan \left( 1-4x \right) -\frac{4 \left( 2x-1 \right) }{\cos^2(1-4x)}
d. y'=2\tan \left( 1-4x \right) +\frac{2x-1}{\cos^2(1-4x)}
Cho hàm số y=\frac{2x-3}{4-x}. Đạo hàm cấp hai y^{"} là:
Select one:
a. y^{"}=\frac{10}{ \left( 4-x \right) ^{3}}
b. y^{"}=\frac{-4}{ \left( 4-x \right) ^{2}}
c. y^{"}=\frac{-5}{8-2x}
d. y^{"}=\frac{-10}{ \left( 4-x \right) ^{3}}
Giả sử doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh với hàm sản xuất ngắn hạn là Q = 30 \sqrt L. Cho biết giá mỗi đơn vị sản phẩm là p=$2, giá thuê một đơn vị lao động là w_L = $5 và chi phí cố định C_0 = 15. Tại mức sử dụng 9 đơn vị lao động, lợi nhuận của doanh nghiệp là:
Select one:
a. \pi = $15
b. \pi = $45
c. \pi = $135
d. \pi = $120
Giả sử chi phí của doanh nghiệp để sản xuất Q sản phẩm được cho bởi:TC=Q^{3}-2Q^{2}+5Q+30 Tính chi phí của doanh nghiệp khi thực hiện một đơn hàng 300 sản phẩm?
Select one:
a. 26.821.530
b. 268.805
c. 26.721.530
d. 268.705
Giả sử hàm cung và hàm cầu đối với một loại hàng hóa lần lượt là: Q_{s}=2p^{2}-3p+1; Q_{d}=25-p. Mức giá cân bằng là:
Select one:
a. p_0 = 14
b. p_0 = 4
c. p_0 = 3
d. p_0 = 24
Cho hàm số y = \begin{cases} x^2 - 3x & x \ge 0 \\ e^x - 1 & x < 0\end{cases}. Giá trị y(\cos x) tại x_0 = -\frac {\pi} 3 là:
Select one:
a. \frac 7 4
b. -\frac 5 4
c. e^{-1/2} - 1
d. \frac{3 - 6\sqrt 3} 4
Cho hàm số y = (4x^3 - 2x^2 + 1)^{2014}. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = 2014(12x^2 - 4x)^{2013}
b. y' = 2014(4x^3 - 2x^2 + 1)^{2013}(12x^2 - 4x)
c. y' = 2014(4x^3 - 2x^2 + 1)^{2013}
d. y' = (12x^2 - 4x)^{2014}
Cho hàm số y=\sqrt{x-1}⋅\sqrt{3-x}+\sqrt{x^{2}-4x+3} Tập xác định của hàm số là:
Select one:
a. \{1,3\}
b. (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)
c. \mathbb R
d. (1, 3)
Cho hàm số y = x. e^{2x}. Vi phân của hàm số tại điểm x_0 = \frac 1 2 với số gia \Delta x = 0,1 có giá trị là:
Select one:
a. 0,2e
b. 0,1e
c. 0,3e
d. 1,5e
Cho hàm số y=\sqrt{x}.\sin 2x Khi đó y' \left( \frac{ \pi }{4} \right) là:
Select one:
a. y'\left( \frac{ \pi }{4} \right) =1
b. y' \left( \frac{ \pi }{4} \right) =\frac{1}{\sqrt{ \pi }}
c. y' \left( \frac{ \pi }{4} \right) =\sqrt[]{2 \pi }
d. y' \left( \frac{ \pi }{4} \right) =2\sqrt[]{ \pi }
y= \left( 3x-2 \right) .e^{-2x} Giá trị của y^{″} \left( 1 \right) là:
Select one:
a. y^{"} \left( 1 \right) =-8e^{2}
b. y^{"} \left( 1 \right) =-7e^{2}
c. y^{"} \left( 1 \right) =-8e^{-2}
d. y^{"} \left( 1 \right) =8e^{2}
Cho hàm số y = \sin^5 (3x). Vi phân của hàm số tại x_0 = \pi/12 với số gia \Delta x = 0,1 là:
Select one:
a. dy \left( \frac{ \pi }{12} \right) =\frac{0,3}{4\sqrt[]{2}}
b. dy \left( \frac{ \pi }{12} \right) =\frac{0,5}{4\sqrt[]{2}}
c. dy \left( \frac{ \pi }{12} \right) =\frac{1,5}{4\sqrt[]{2}}
d. dy \left( \frac{ \pi }{12} \right) =\frac{0,5}{4}
Đạo hàm của y=x^{2}.\sqrt[]{3x-1} là:
Select one:
a. y'=\frac{3x}{\sqrt[]{3x-1}}
b. y'=\frac{15x^{2}-4x}{2\sqrt[]{3x-1}}
c. y'=2\sqrt[]{3x-1}
d. y'=\frac{9x^{2}-2x}{2\sqrt[]{3x-1}}
Cho hàm số y = \ln\left(\frac{2x - 3}{7 - 4x}\right). Đạo hàm y' có giá trị là:
Select one:
a. y' = \frac{7-4x}{2x-3}
b. y' = \frac 2 {(7-4x)(2x-3)}
c. y' = \frac {26 - 16x}{(7-4x)(2x-3)}
d. y' = \ln \left(\frac 2 {(7 - 4x)^2}\right)
Cho hàm số y = \frac{e^{-2x}}{3x+1} , giá trị y'(0) là:
Select one:
a. y'(0) = -5
b. y'(0) = -4
c. y'(0) = -3
d. y'(0) = -2
Cho y = (x^2 + e^x)^x. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = (x^2 + e^x)^x \times \left(\ln (x^2 + e^x) + \frac{2x^2 + xe^x}{x^2 + e^x}\right)
b. y' = (x^2 + e^x)^x \times \left(\ln (x^2 + e^x) + \frac{2x^2 + e^x}{x^2 + e^x}\right)
c. y' = (x^2 + e^x)^x \times \left(\ln (2x + e^x) + \frac{2x^2 + xe^x}{x^2 + e^x}\right)
d. y' = (x^2 + e^x)^x \times \left(\ln (2x + e^x) + \frac{2x^2 + e^x}{x^2 + e^x}\right)
Biểu thức vi phân của hàm y=x^2.e^{-5x} là
Select one:
a. dy = (2x - 5x^2 )e^{-5x}.dx
b. dy = 2x.e^{-5x}.dx
c. dy = -5x^2.e^{-5x}.dx
d. dy = -10x.e^{-5x}.dx
Cho hàm số y= \left( -3x+5 \right) .e^{2x^{2}-x+1}. Hàm số tăng trên:
Select one:
a. \left( \frac{23-\sqrt[]{145}}{24},\frac{23+\sqrt[]{145}}{24} \right)
b. \left( \frac{-23-\sqrt[]{145}}{24},\frac{-23+\sqrt[]{145}}{24} \right)
c. \left( -\infty,\frac{23-\sqrt[]{145}}{24} \right) và \left( \frac{23+\sqrt[]{145}}{24},+\infty \right)
d. \left( -\infty,\frac{-23-\sqrt[]{145}}{24} \right) và \left( \frac{-23+\sqrt[]{145}}{24},+\infty \right)
Cho hàm số y=x^{3}-2x^{2}+x+3 . Số điểm dừng của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho hàm số y = \frac {x^3} 3 - \frac 3 2 x^2 + 2x - 1. Hàm số tăng trên:
Select one:
a. (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)
b. (1,2)
c. (2,+\infty)
d. khoảng (-\infty, 1) và khoảng (2, +\infty)
Giả sử doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại sản phẩm với hàm cầu là p = 300 - 2Q. Doanh thu cận biên tại mức sản lượng Q = 9 là:
Select one:
a. 260
b. 282
c. 264
d. 276
Cho hàm số y= \left( 5x^{2}-7x+2 \right) ^{2014}. Số điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w=y^{2}+\frac{y}{x}+\sqrt[]{x} là:
Select one:
a. w'_{x}=\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{2\sqrt[]{x}}
b. w'_{x}=-\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{2\sqrt[]{x}}
c. w'_{x}=4x^{3}+4xy-3\cos x
d. w'_{x}=2x^{2}+\frac{1}{2\sqrt[]{y}}
Miền xác định của hàm số w=\sqrt{1-x^{2}-2y^{2}} là:
Select one:
a. với mọi (x, y)
b. \{(x, y):1-x^{2}-2y^{2} \neq 0\}
c. \{(x, y) :1-x^{2}-2y^{2} = 0\}
d. \{( x, y) :1-x^{2} - 2y^{2} \geq 0\}
Đường mức của hàm số w = 2x – 3y – 1 ứng với mức w_0 = 2 có phương trình là:
Select one:
a. 2x - 3y=2
b. 2x-3y=3
c. 2x-3y=1
d. 2x-3y=0
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w=x^3+xy^2-3x+y là:
Select one:
a. 3x^2-3
b. 3x^2+y^2-2
c. 3x^2+y^2-3
d. 2xy+1
Điểm (1, –2) thuộc miền xác định của hàm số:
Select one:
a. w=\sqrt[]{x+2y}
b. w=\ln \left( x^{2}+y \right)
c. w=\frac{1-3x+2y}{2x+y}
d. \sqrt{1+3x+y}
Đường mức của hàm số w=x^2+3y^2-x ứng với mức w_0 = 1 có phương trình là:
Select one:
a. x^2+3y^2-x=0
b. x^2+3y^2-x=1
c. x^2+3y^2-x=-1
d. x^2+3y^2-x=2
Miền xác định của hàm số w=x^{2}+2xy-5y^{3}+x-3y là:
Select one:
a. với mọi (x, y)
b. \{(x, y): x > 0, y > 0\}
c. \{(x, y): x \neq 0, y \neq 0\}
d. \{( x, y) : x^{2}+2xy-5y^{3} \neq 0\}
Cho hàm lợi nhuận phụ thuộc vào mức sản lượng của một doanh nghiệp là: \pi =-Q^{3}+15Q^{2}+600Q+800 Lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp là:
Select one:
a. 6800
b. 9800
c. 11800
d. 10800
Cho hàm số y=\sqrt[3]{5-4x} . Kết luận đúng về hàm số là:
Select one:
a. Hàm số không đạt cực đại.
b. Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 1
c. Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 2
d. Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = 5/4
Cho hàm số y=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x+3 . Số điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Giả sử doanh thu và chi phí của một nhà sản xuất được cho tương ứng bởi: TR=-70Q^{2}+5000QTC=2Q^{3}+20Q^{2}-1000Q+4000 Lợi nhuận tối đa của doanh nghiệp là:
Select one:
a. 64.000
b. 30.000
c. 32.000
d. 40.000
Giả sử hàm sản xuất ngắn hạn của doanh nghiệp là Q = 1000\sqrt[7]{L^4}. Cho biết giá một đơn vị sản phẩm là p = $21 và giá thuê một đơn vị lao động là w_L = $12. Mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa là:
Select one:
a. 10.000.000
b. 1.000.000
c. 100.000
d. 10.000
Cho hàm số y=x.e^{-3x^{2}} . Số điểm cực tiểu của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho hàm\left( x^{2}-3x+2 \right) .e^{-2x}. Hàm số giảm trên:
Select one:
a. \left( 2-\frac{1}{\sqrt[]{2}},2+\frac{1}{\sqrt[]{2}} \right)
b. \left( 2+\frac{1}{\sqrt[]{2}},+\infty \right)
c. \left( -\infty,2-\frac{1}{\sqrt[]{2}} \right) \cup \left( 2+\frac{1}{\sqrt[]{2}},+\infty \right)
d. 2 khoảng \left( -\infty,2-\frac{1}{\sqrt[]{2}} \right) và \left( 2+\frac{1}{\sqrt[]{2}},+\infty \right)
Cho hàm số y=x^{2}\ln x. Điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. e
c. 0
d. e^{-1/2}
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w=x^{3}+xy^{2}-3x+y là:
Select one:
a. y^{2}+1
b. 3x^{2}+y^{2}-2
c. 3x^{2}+y^{2}-3
d. 3x^{2}+y^{2}
Với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas Q=a.K^{ \alpha }~L^{ \beta } \left( a,~ \alpha ,~ \beta >0 \right) , theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần các tham số \alpha ,~ \beta phải thỏa mãn điều kiện:
Select one:
a. \alpha \le 0, \beta \le 0
b. \alpha \ge 0, \beta \ge 0
c. \alpha \ge 1, \beta \ge 1
d. \alpha \le 1, \beta \le 1
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w=(4x-3y)^2 là:
Select one:
a. w'_x = 2(4x - 3y)
b. w'_x = 4(4x-3y)
c. w'_x = 8(4x - 3y)
d. w'_x = -6(4x-3y)
Hàm số 2 biến số w=f(x,y) có số đạo hàm riêng cấp 2 nhiều nhất là:
Select one:
a. 2
b. 4
c. 6
d. 8
Vi phân của hàm số w=3x^{2}+ xy-y^{2} tại điểm x_{0}=0, y_{0}=1 ứng với \Delta x=0,01; \Delta y=0,02 bằng:
Select one:
a. 0,05
b. 0,03
c. −0,03
d. 0,0002
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w=x^{4}+x^{2}y-\sin x+2\sqrt[]{y} là:
Select one:
a. 4x^{3}+2xy-\cos x
b. 4x^{3}+x^{2}+2\sqrt[]{y}
c. x^{2}+\frac{2}{\sqrt[]{y}}
d. x^{2}+\frac{1}{\sqrt[]{y}}
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w=\ln(4x-3y) tại điểm (1, 0) là:
Select one:
a. 1/4
b. 0
c. –3/4
d. 1
Tính \displaystyle \int_0^{\pi/4} (x + \sin^2 2x) \cos 2x dx.
Select one:
a. 1/12
b. \pi/8
c. \pi/8 + 1/12
d. \pi/8 - 1/12
Xét hàm số hai biến số w = f(x, y). Ký hiệu: D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}.a_{22} - a_{12}.a_{21} với a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó nếu D > 0 thì theo điều kiện đủ của cực trị, điểm M_0(x_0, y_0):
Select one:
a. là điểm cực đại của hàm số.
b. là điểm cực tiểu của hàm số.
c. không là điểm cực trị của hàm số.
d. là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số tùy theo dấu của a_{11}.
Cho hàm số y=x^{3}-4x^{2}+5x-2 . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0, 2] là:
Select one:
a. -3
b. -2
c. 0
d. 1
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}⋅dx
Select one:
a. -\sin x+\cos x+C
b. \sin x-\cos x+C
c. -\sin x-\cos x+C
d. \sin x+\cos x+C
Cho hàm số y= (3x - 1)\sqrt{x}. Hàm số tăng trên:
Select one:
a. (-\infty, 1/9)
b. (-\infty, 1/3)
c. (1/3, +\infty)
d. (1/9, +\infty)
Xét hàm số hai biến số w = f(x, y). Ký hiệu: D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}.a_{22} - a_{12}.a_{21} với a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó nếu D < 0 thì theo điều kiện đủ của cực trị, điểm M_0(x_0, y_0):
Select one:
a. là điểm cực đại của hàm số.
b. là điểm cực tiểu của hàm số.
c. không là điểm cực trị của hàm số.
d. là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số tùy theo dấu của a_{11}.
Tính tích phân: \displaystyle\int \left( 3x+1 \right) ^{8}⋅dx
Select one:
a. \frac{1}{27}⋅ \left( 3x+1 \right) ^{9}+C
b. \frac{-1}{27}⋅ \left( 3x+1 \right) ^{9}+C
c. 24⋅ \left( 3x+1 \right) ^{7}+C
d. -24⋅ \left( 3x+1 \right) ^{7}+C
Xét hàm số hai biến số w = f(x, y). Ký hiệu: D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}.a_{22} - a_{12}.a_{21} với a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó, điều kiện đủ để điểm M_0(x_0, y_0) là điểm cực đại của hàm số w là:
Select one:
a. D<0
b. D>0; a_{11} > 0
c. D > 0; a_{11} < 0
d. D = 0
Thực hiện giải bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Tại điểm dừng M_0(x_0, y_0, \lambda_0) của hàm số Lagrange, xét điều kiện đủ, ta có ma trận
|\overline{H}| = \left| \begin{array}{r r r} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right|
Khi đó, ta kết luận được: tại điểm (x_0, y_0) hàm số
Select one:
a. đạt giá trị cực đại.
b. đạt giá trị cực tiểu.
c. không đạt cực trị.
d. có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tùy thuộc vào giá trị của \lambda_0.
Hàm số w=3x^{2}+y^{2}-3x-2y có điểm dừng là:
Select one:
a. M_{0} \left( \frac{1}{2};1 \right)
b. M_{0} \left( 1;1 \right)
c. M_{0} \left( 2;1 \right)
d. M_{0} \left( -\frac{1}{2};1 \right)
Tính tích phân: \displaystyle \int\sin ^{3}x⋅dx
Select one:
a. \frac{\cos ^{2}x}{2}-\cos x+C
b. \frac{\cos ^{3}x}{3}-\cos x+C
c. \frac{\cos ^{2}x}{2}+\cos x+C
d. \frac{\cos ^{3}x}{3}+\cos x+C
Hàm số w= \left( 3x-2y \right) ^{2} có tổng hai đạo hàm riêng cấp 2 w_{xy}^{''}+w_{xx}^{''} bằng:
Select one:
a. 6(3x – 2y)
b. 18
c. 6
d. 2(3x-2y)
Cho \displaystyle\int_1^7 f(x) dx = -6 và \displaystyle\int_1^7 g(x) dx = -8. Kết quả của tích phân \displaystyle I = \int_1^7[3f(x) - 2g(x)]dx là:
Select one:
a. –34
b. –2
c. –14
d. 2
Tính \displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1 - x} dx.
Select one:
a. \frac 1 9
b. \frac 2 {11}
c. \frac 3 {13}
d. \frac 4 {15}
Đường mức của hàm số w=x^2+3y^2-x ứng với mức w_0 = 1 có phương trình là:
Select one:
a. x^2+3y^2-x=0
b. x^2+3y^2-x=1
c. x^2+3y^2-x=-1
d. x^2+3y^2-x=2
Cho hàm số y = x. e^{2x}. Vi phân của hàm số tại điểm x_0 = \frac 1 2 với số gia \Delta x = 0,1 có giá trị là:
Select one:
a. 0,2e
b. 0,1e
c. 0,3e
d. 1,5e
Tính tích phân: I = \displaystyle \int\frac{dx}{x \sqrt{1 + \ln x}}
Select one:
a. 1 + \ln x +C
b. \sqrt{1 + \ln x}
c. 2\sqrt{1 + \ln x}
d. \sqrt{1 + 2\ln x}.
Hàm số 2 biến số w = f(x, y) có các đạo hàm riêng w'_{x}, w'_{y} . Điểm M_{0} ( x_{0},y_{0} ) mà tại đó các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu:
\begin{array}{c} w'_{x} = 0\\ w'_{y} = 0 \end{array}
được gọi là:
Select one:
a. điểm triệt tiêu của hàm số.
b. điểm dừng chân của hàm số.
c. điểm dừng của hàm số.
d. điểm nghi ngờ của hàm số.
Miền xác định của hàm số w=\sqrt{1-x^{2}-2y^{2}} là:
Select one:
a. với mọi (x, y)
b. \{(x, y):1-x^{2}-2y^{2} \neq 0\}
c. \{(x, y) :1-x^{2}-2y^{2} = 0\}
d. \{( x, y) :1-x^{2} - 2y^{2} \geq 0\}
Đạo hàm của y = (2x - 1).\tan(1 - 4x) là:
Select one:
a. y'=\frac{-8}{\cos^2(1-4x)}
b. y'=\frac{2x-1}{\cos^2(1-4x)}
c. y'=2\tan \left( 1-4x \right) -\frac{4 \left( 2x-1 \right) }{\cos^2(1-4x)}
d. y'=2\tan \left( 1-4x \right) +\frac{2x-1}{\cos^2(1-4x)}
Cho hàm số y=2x^{3}-3x^{2}+9. Số điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 4
b. 3
c. 2
d. 1
Xét bài toán: Giả sử doanh nghiệp cạnh tranh thuần tuý sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC=4Q_{1}^{2}+2Q_{1}Q_{2}+3Q_{2}^{2}+5. Với giá thị trường của sản phẩm 1 là $40 và giá của sản phẩm 2 là $35, hãy chọn một cơ cấu sản lượng Q_{1}, Q_{2} để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa. Để giải bài toán thông qua việc tìm cực trị của hàm số, ta sẽ tìm cực đại của hàm lợi nhuận:
Select one:
a. \pi =35Q_{1}+40Q_{2}- \left( 4Q_{1}^{2}+2Q_{1}Q_{2}+ 3Q_{2}^{2}+5 \right)
b. \pi =35Q_{1}+40Q_{2}+ \left( 4Q_{1}^{2}+2Q_{1}Q_{2}+ 3Q_{2}^{2}+5 \right)
c. \pi =40Q_{1}+35Q_{2}- \left( 4Q_{1}^{2}+2Q_{1}Q_{2}+ 3Q_{2}^{2}+5 \right)
d. \pi =40Q_{1}+35Q_{2}+ \left( 4Q_{1}^{2}+2Q_{1}Q_{2}+ 3Q_{2}^{2}+5 \right)
Cho hàm số y=3x^{2}+e^{-x^{2}+3}. Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Tính \displaystyle \int_0^{\pi} x \sin \frac x 2 dx.
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho hàm số y = \sqrt[3] x. Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho hàm số y= \left( x^{2}-5x+4 \right) ^{10}. Hàm số tăng trên:
Select one:
a. \left( -\infty,1 \right) và \left( 4,+\infty \right)
b. \left( 1,\frac{5}{2} \right) và \left( 4,+\infty \right)
c. \left( -\infty,1 \right) và \left( \frac{5}{2},4 \right)
d. \left( 1,4 \right)
Hàm số 2 biến số w=f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x là w'_{y}=2x+y-3 . Biết rằng hàm số w có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0} \right) với x_{0}=3/2 , khi đó giá trị y_{0} là:
Select one:
a. 1/2
b. 2/3
c. 3
d. 0
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=2x-3y với điều kiện ràng buộc là phương trình x^{2}+3y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=2x-3y+ \lambda \left( 28-x^{2}-3y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L_{x}^{'}=2-2 \lambda x;L_{y}^{'}= -3-6 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với x_{0}=2 và \lambda _{0} có giá trị là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. –1/2
d. 1/2
Xét bài toán: Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích u = x^{0,4}.y^{0,5}. Trong điều kiện giá của hàng hóa thứ nhất là $4, giá của hàng hóa thứ hai là $5 và thu nhập dành cho tiêu dùng là $200 hãy xác định giỏ hàng đem lại lợi ích tối đa cho người tiêu dùng. Khi sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực đại của hàm lợi ích thì hàm Lagrange là:
Select one:
a. L=x^{0,4}y^{0,5}+ \lambda \left( 200-4x-5y \right)
b. L=x^{0,4}y^{0,5}+ \lambda \left( 200+4x+5y \right)
c. L=x^{0,4}y^{0,5}+ \lambda \left( 200-4x+5y \right)
d. L=x^{0,4}y^{0,5}+ \lambda \left( 200+4x-5y \right)
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b. Khi sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, hàm Lagrange là:
Select one:
a. L= \lambda f \left( x,y \right) + \left[ b-g \left( x,y \right) \right]
b. L=f \left( x,y \right) + \left[ b- \lambda g \left( x,y \right) \right]
c. L=f \left( x,y \right) + \lambda \left[ b-g \left( x,y \right) \right]
d. L=f \left( x,y \right) + \left[ \lambda b~-g \left( x,y \right) \right]
Tính \displaystyle \int_0^1 x^3 \sqrt{1 - x^2} dx.
Select one:
a. \frac 2 5
b. \frac 2 {15}
c. \frac 3 5
d. \frac 3 {15}
Tính \displaystyle \int_0^1 x^2 e^{-x} dx.
Select one:
a. 2+5/e
b. 2-5/e
c. 3/e
d. 2
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{dx}{1-\cos 2x}
Select one:
a. -\cot x+C
b. \cot x+C
c. -\frac{1}{2}\cot x+C
d. \frac{1}{2}\cot x+C
Tính \displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{x + 1} dx.
Select one:
a. \ln 2-\frac{1}{2}
b. \ln 2+\frac{1}{2}
c. \ln 3-\frac{1}{2}
d. \ln 3+\frac{1}{2}
Đạo hàm của y=x^{2}.\sqrt[]{3x-1} là:
Select one:
a. y'=\frac{3x}{\sqrt[]{3x-1}}
b. y'=\frac{15x^{2}-4x}{2\sqrt[]{3x-1}}
c. y'=2\sqrt[]{3x-1}
d. y'=\frac{9x^{2}-2x}{2\sqrt[]{3x-1}}
Cho hàm số y = \ln^3 (2x). Giá trị đạo hàm y'\left(\frac e 2\right) là:
Select one:
a. y' \left( \frac{e}{2} \right) = -\frac{6}{e}
b. y'\left( \frac{e}{2} \right) =3
c. y' \left( \frac{e}{2} \right) =\frac{6}{e}
d. y' \left( \frac{e}{2} \right) =\frac{3}{e}
Tính tích phân: I= \displaystyle \int \cot x⋅dx
Select one:
a. \ln \vert \cos x \vert +C
b. \ln \vert \cos 2x \vert +C
c. \ln \vert \sin x \vert +C
d. \ln \vert \sin 2x \vert +C
Xét hàm số 2 biến số w = f(x,y). Ký hiệu: a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó, định thức D để xét điều kiện đủ của cực trị là:
Select one:
a. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|
b. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{22} \\ a_{12} & a_{21} \end{array}\right|
c. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{12} \end{array}\right|
d. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{11} \end{array}\right|
Cho hàm số y = \sqrt{\frac{2x+1}{x + 1}}. Giá trị y'(1) là:
Select one:
a. y'(1) = \frac 1 {8\ \sqrt {\frac 3 2}}
b. y'(1) = \frac 1 {2\sqrt {\frac 3 2}}
c. y'(1) = \frac 1 {6\ \sqrt {\frac 3 2}}
d. y'(1) = \frac 1 {4\ \sqrt {\frac 3 2}}
Cho hàm số y = \ln\left(\frac{2x - 3}{7 - 4x}\right). Đạo hàm y' có giá trị là:
Select one:
a. y' = \frac{7-4x}{2x-3}
b. y' = \frac 2 {(7-4x)(2x-3)}
c. y' = \frac {26 - 16x}{(7-4x)(2x-3)}
d. y' = \ln \left(\frac 2 {(7 - 4x)^2}\right)
Cho hàm số y = \sin(\cos x). Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = \sin (-\cos x)
b. y' = \cos (\cos x)
c. y' = -\sin x \sin (\cos x)
d. y' = -\sin x \cos (\cos x)
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w = 4x^2 + 3xy - y^3 tại điểm (1, 2) là:
Select one:
a. 9
b. 14
c. –9
d. 10
Xét hàm số 2 biến số w=f \left( x,y \right) có các đạo hàm riêng: w'_{x}=3x^{2}-2y-1;w_{y}^{'}= -2x+2y . Biết rằng điểm M_{0} \left( 1,1 \right) là điểm dừng của hàm số, khi đó điểm dừng M_{0} :
Select one:
a. là điểm cực đại của hàm số.
b. là điểm cực tiểu của hàm số.
c. không là điểm cực trị của hàm số.
d. có thể là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số.
Tính tích phân: \displaystyle \int \left(x^{2} + 1\right)^3⋅dx
Select one:
a. \frac{x^{7}}{7}+3⋅\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+x+C
b. \frac{x^{7}}{7}-3⋅\frac{x^{5}}{5}+x^{3}-x+C
c. \frac{-x^{7}}{7}+3⋅\frac{x^{5}}{5}-x^{3}+x+C
d. \frac{x^{7}}{7}+3⋅\frac{x^{5}}{5}+x^{3}+ C
Tính \displaystyle \int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{25 - 3x}}.
Select one:
a. 1
b. 2
c. 2/3
d. 3/2
Cho hàm số y = (5x^2 - 3x - 1)^6. Đạo hàm y'(1) có giá trị là:
Select one:
a. 42
b. 6
c. -42
d. 1
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=3x+2y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x^{2}+y^{2}=7 . Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange với hàm Lagrange L=3x+2y+ \lambda \left( 7-3x^{2}-y^{2} \right) ta biết hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm \left( x_{0}=1;y_{0}=2 \right) ứng với \lambda _{0}=\frac{1}{2} . Nếu điều kiện ràng buộc được thay bằng phương trình 3x^{2}+y^{2}=8 thì giá trị cực đại của hàm số sẽ:
Select one:
a. tăng 1 đơn vị.
b. giảm 2 đơn vị.
c. giảm 1/2 đơn vị.
d. tăng 1/2 đơn vị
Hàm số w=x^{2}-y^{2}+3x-2y có điểm dừng là:
Select one:
a. M_{0} \left( \frac{3}{2};1 \right)
b. M_{0} \left( 3;-1 \right)
c. M_{0} \left( -\frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)
d. M_{0} \left( -\frac{3}{2};-1 \right)
Tính tích phân: \displaystyle \int x⋅ \left( x^{2}+1 \right) ^{9}⋅dx
Select one:
a. \frac{1}{10}⋅ \left( x^{2}+1 \right) ^{10}+C
b. \frac{-1}{10}⋅ \left( x^{2}+1 \right) ^{10}+C
c. \frac{1}{20}⋅ \left( x^{2}+1 \right) ^{10}+C
d. \frac{-1}{20}⋅ \left( x^{2}+1 \right) ^{10}+C
Giả sử một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q=20\sqrt[]{L} . Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại mức L = 9 (đơn vị lao động) là:
Select one:
a. 60
b. 20
c. 10/3
d. 20/3
Tính tích phân: \displaystyle \int \ln x⋅dx
Select one:
a. x \left( \ln x-1 \right) +C
b. x \left( \ln x+1 \right) +C
c. x^{2} \left( \ln x+1 \right) +C
d. -x^{2} \left( \ln x+1 \right) +C
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w=x^{4}+x^{2}y-\sin x+2\sqrt[]{y} là:
Select one:
a. 4x^{3}+2xy-\cos x
b. 4x^{3}+x^{2}+2\sqrt[]{y}
c. x^{2}+\frac{2}{\sqrt[]{y}}
d. x^{2}+\frac{1}{\sqrt[]{y}}
Điểm (2, –1) thuộc miền xác định của hàm số:
Select one:
a. w=\ln \left( y^{2}-x \right)
b. w=e^{xy}
c. w=\frac{y+2x}{x+2y}
d. \sqrt[]{1-3x-y}
Tính tích phân}: \displaystyle \int\frac{x^{2}dx}{\sqrt[]{x^{3}+1}}
Select one:
a. \sqrt{x^{3}+1}+C
b. – \sqrt{x^{3}+1}+C
c. -\frac{2}{3}\sqrt[]{x^{3}+1}+C
d. \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}+1}+C
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán tìm cực trị có điều kiện, ta biết rằng hàm Lagrange L có điểm dừng M_{0} \left( x_{0},y_{0},-\frac{1}{2} \right) và L_{xx}^{''}=-2 \lambda ;L_{xy}^{''}=L_{yx}^{''}=0;L_{yy}^{''}=-4 \lambda ;g_{x}^{'}= 3;g_{y}^{'}=1 . Khi đó tại điểm \left( x_{0},y_{0} \right) , hàm số với điều kiện đã cho:
Select one:
a. đạt giá trị cực đại.
b. đạt giá trị cực tiểu.
c. không đạt cực trị.
d. có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tùy thuộc vào giá trị của x_0, y_0.
Tính tích phân: I= \displaystyle \int \left( x^{2}-2x+\frac{4}{x} \right) .dx
Select one:
a. \frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4\ln \vert x \vert +C
b. \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+4\ln \vert x \vert +C
c. 2x-2-\frac{4}{x^{2}}+C
d. 2x+2+\frac{4}{x^{2}}+C
Cho hàm số y=e^{\sin x} - \sin x . Số điểm dừng của hàm số trên \left[ -\frac{ \pi }{2}, \pi \right] là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Kết quả đúng của tích phân: I= \displaystyle \int 2^{x}.3^{2x}dx
Select one:
a. \frac{2^{x}}{\ln 2}⋅\frac{9^{x}}{\ln 9}+C
b. \frac{18^{x}}{\ln 18}+C
c. \frac{-18^{x}}{\ln 18}+C
d. \frac{6^{x}}{\ln 6}+C
Kết quả đúng của tích phân: I= \displaystyle \int \left( x^{2}+x+1 \right) .\ln x.dx
Select one:
a. \left( \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x- \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
b. \left( \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
c. \left( \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
d. \left( \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
Hàm số w=f(x, y) có các đạo hàm riêng là w'_{x}=2mx+y-3;w_{y}^{'}=x-5 trong đó m là tham số. Điểm M_{0} \left( 5,-1 \right) là điểm dừng của hàm số w khi m có giá trị là:
Select one:
a. 5/2
b. 5
c. 2/5
d. -5
Khi giải bài toán tìm cực trị của hàm số w=x^{2}+y^{2} với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x+2y=26 , hàm Lagrange L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với y_{0}= \lambda _{0}=4 và x_{0} có giá trị là:
Select one:
a. 4
b. 2
c. 3/2
d. 6
Hàm số w=f(x, y) có các đạo hàm riêng là w'_{x}=2x+my-3;w'_{y} =mx-6y-5 trong đó m là tham số. Điểm M_{0} \left( 1,-1 \right) là điểm dừng của hàm số w khi m có giá trị là:
Select one:
a. -1
b. 1
c. 0
d. 1/2
Tính tích phân: I= \displaystyle \int2\sin ^{2}\frac{x}{2}⋅dx
Select one:
a. x + \sin x + C
b. x - \sin x + C
c. x + \cos x + C
d. x - \cos x + C
Tính \displaystyle \int_0^4 \frac{xdx}{\sqrt{2x + 1}}.
Select one:
a. 2/3
b. 10/3
c. 1
d. 4/3
Cho hàm số y=x.e^{-3x^{2}} . Số điểm cực tiểu của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho hàm số y = \frac {x^3} 3 - \frac 3 2 x^2 + 2x - 1. Hàm số tăng trên:
Select one:
a. (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)
b. (1,2)
c. (2,+\infty)
d. khoảng (-\infty, 1) và khoảng (2, +\infty)
Cho hàm số y = 5x^2 - 4 \cos x + 3. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = 10x - 4 \sin x
b. y' = 10x - 4 \sin x + 3
c. y' = 10x + 4 \sin x
d. y' = 10x + 4 \sin x + 3
Cho hàm số y=x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9 . Số điểm cực đại của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Giá trị của hàm số w=\frac{x^{3}-2\sqrt {xy}}{x+2y} tại điểm (1, 4) là:
Select one:
a. –1/2
b. –1/3
c. –1/9
d. 62/9
Cho hàm số y = (3x^3 - 5x + 1). \sin x. Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = (9x^2 - 5) \sin x
b. y' = (9x^2 - 5) \sin x + (3x^3 - 5x + 1) \cos x
c. y' = (9x^2 - 5) \cos x
d. y' = (3x^3 - 5x + 1) \cos x
Cho hàm số y=\frac{e^{-4x^{2}+3x+1}}{x-1} . Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{3x^{2}+2x}{x+1}⋅dx
Select one:
a. \frac{3x^{2}}{2}+x-\ln \vert x+1 \vert +C
b. \frac{-3x^{2}}{2}-x+\ln \vert x+1 \vert +C
c. \frac{3x^{2}}{2}-x+\ln \vert x+1 \vert +C
d. \frac{3x^{2}}{2}-x-\ln \vert x+1 \vert +C
Tính tích phân: I = \displaystyle \int (x + \sin x)^2⋅dx
Select one:
a. \frac x 2 + 2 \sin x - 2x \cos x + C
b. \frac {x^3} 3 - \frac x 2 - 2 \sin x + 2x \cos x + \frac 1 4 \sin 2x + C
c. \frac {x^3} 3 + \frac x 2 + 2 \sin x - 2x \cos x - \frac 1 4 \sin 2x + C
d. \frac {x^3} 3 \sin x + x \cos x + C
Tính \displaystyle \int_1^e (x \ln x)^2 dx.
Select one:
a. \frac{4e^{3}-2}{27}
b. \frac{4e^{3}+2}{27}
c. \frac{5e^{3}-2}{27}
d. \frac{5e^{3}+2}{27}
Giá trị của hàm số w=x^{2}+2xy-3y^{2} tại điểm (1, –1) là:
Select one:
a. 6
b. 4
c. –4
d. 0
Tính tích phân \displaystyle I = \int \frac{\sqrt{1 + \ln x}} x dx.
Select one:
a. \frac{2}{3}⋅ \left( 1+\ln x \right) ^{\frac{3}{2}}+C
b. \frac{2}{3}⋅ \left( 1+\ln x \right) ^{\frac{2}{3}}+C
c. \left( 1+\ln x \right) ^{\frac{3}{2}}+C
d. \left( 1+\ln x \right) ^{\frac{2}{3}}+C
Cho hàm số y=x.\sqrt[]{4-3x} . Giá trị lớn nhất của hàm số trên \left[ -1,\frac{4}{3} \right] là:
Select one:
a. 0
b. 16/(9\sqrt 3)
c. 20/(9\sqrt 3)
d. 22/(9\sqrt 3)
Cho hàm số y=\sqrt[3]{2x-1}.\sqrt[3]{ \left( 4-5x \right) ^{2}} . Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Tính \displaystyle \int_1^2 x \ln x dx.
Select one:
a. 2\ln 2 + \frac 3 4
b. 2\ln 2 + \frac 2 3
c. 2 \ln 2 - \frac 3 4
d. 2\ln 2 - \frac 2 3
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm số w=\sin(3x-2y) là:
Select one:
a. dw=3.\cos \left( 3x-2y \right) dx+2.\cos \left( 3x-2y \right) dy
b. dw=3.\cos \left( 3x-2y \right) dx-2\cos \left( 3x-2y \right) dy
c. dw=\cos \left( 3x-2y \right) dx+\cos \left( 3x-2y \right) dy
d. dw=3\sin \left( 3x-2y \right) dx-2\sin \left( 3x-2y \right) dy
Tính tích phân: I= \displaystyle \int\frac{dx}{3\sin x+4\cos x+5}
Select one:
a. \frac{2}{3+\tan \frac{x}{2}}+C
b. \frac{-2}{3+\tan \frac{x}{2}}+C
c. \frac{2}{3+\tan x}+C
d. \frac{-2}{3+\tan x}+C
Giả sử hàm sản xuất ngắn hạn của một doanh nghiệp là Q=30\sqrt[3]{L^{2}} . Giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại L = 27 là:
Select one:
a. 20/27
b. 90\sqrt[3] 2
c. 270
d. 20/3
Tính tích phân: \displaystyle \int\sin ^{3}x⋅\cos ^{2}x⋅dx
Select one:
a. \frac{\cos ^{5}x}{5}-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C
b. \frac{\cos ^{5}x}{5}+\frac{\cos ^{3}x}{3}+C
c. \frac{\sin ^{5}x}{5}-\frac{\sin ^{3}x}{3}+C
d. \frac{\sin ^{5}x}{5}+\frac{\sin ^{3}x}{3}+C
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=x.y với điều kiện 3x-y=5 . Khi sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, hàm Lagrange là:
Select one:
a. L=x.y+ \lambda \left( 5-3x-y \right)
b. L=x.y+ \lambda \left( 5-3x+y \right)
c. L=3x-y+ \lambda \left( 5-x.y \right)
d. L=5-3x+y- \lambda x.y
Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần, hàm sản xuất Q = f(K, L) sẽ phải thỏa mãn điều kiện:
Select one:
a. Q_{KK}^{''} \leq 0;Q_{KL}^{''} \leq 0,~ \forall K,L>0
b. Q_{LK}^{''} \leq 0;Q_{KL}^{''} \leq 0,~ \forall K,L>0
c. Q_{KK}^{''} \leq 0;Q_{LL}^{''} \geq 0,~ \forall K,L>0
d. Q_{KK}^{''} \leq 0;Q_{LL}^{''} \leq 0,~ \forall K,L>0
Tính tích phân: I= \displaystyle \int \tan ^{2}x⋅dx
Select one:
a. \tan 2x-2x+C
b. \tan 2x+2x+C
c. \tan x-x+C
d. \tan x+x+C
Tính \displaystyle \int_0^1 x.e^{-x}dx.
Select one:
a. 1+2/e
b. 1-2/e
c. 2+3/e
d. 2-3/e
Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số được gọi chung là:
Select one:
a. điểm tối ưu.
b. điểm tốt nhất.
c. điểm cực trị.
d. điểm tìm được.
Kết quả đúng của tích phân: I= \displaystyle \int\frac{1}{x}⋅\ln x⋅dx
Select one:
a. \frac{\ln ^{2}x}{2}+C
b. \frac{-\ln ^{2}x}{2}+C
c. x⋅\ln x+C
d. -x⋅\ln x+C
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm số w=\frac{\ln x}{y} là:
Select one:
a. dw=ydx+\ln x dy
b. dw=\frac{1}{x}dx-\frac{1}{y} dy
c. dw=\frac{1}{xy}dx-\frac{1}{y^{2}}dy
d. dw=\frac{1}{xy}dx-\frac{\ln x}{y^{2}}dy
Hàm số 2 biến số w=f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x là w'_{x}=3x-2y+1 Biết rằng hàm số w có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0} \right) với x_{0}=2 , khi đó giá trị y_{0} là:
Select one:
a. 7
b. 7/2
c. 2
d. 3
Cho hàm số y=x^{2}.\ln x Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Tính \displaystyle \int_1^4 \frac{1 + \sqrt x}{x^2} dx
Select one:
a. 2
b. \frac 7 4
c. \frac 3 2
d. \frac 5 4
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w=x^{2}.y-\sqrt {x}.e^{y} là:
Select one:
a. 2xy+\frac{e^{y}}{2\sqrt[]{x}}
b. x^{2}y-\sqrt[]{x}.e^{y}
c. x^{2}-e^{y}
d. x^{2}-\sqrt[]{x}.e^{y}
Hàm số w=f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x w'_{x}=3x-4y. Đạo hàm riêng cấp 2 w_{xy}^{''} của hàm số là:
Select one:
a. w_{xy}^{''}=3
b. w_{xy}^{''}=4
c. w_{xy}^{''}=-3
d. w_{xy}^{''}=-4
Giá trị của hàm số w=\ln \left( 2x-y \right) +x^{3}-2y tại điểm (1, 1) là:
Select one:
a. –2
b. \ln 2 - 1
c. -1
d. 1
Tính tích phân:\displaystyle I = \displaystyle \int \frac{x.e^x}{(x+1)^2} dx
Select one:
a. \frac{xe^x}{x + 1} + e^x + C
b. -\frac{xe^x}{x + 1} + 2e^x + C
c. \frac{e^x}{x + 1} + C
d. -\frac{e^x}{x + 1} + C
Hàm số 2 biến số w=f(x, y) có đạo hàm riêng theo biến x là w'_{x}=x^{2}-3xy+1 . Biết rằng hàm số w có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0} \right) với x_{0}=1 , khi đó giá trị y_{0} là:
Select one:
a. –\frac 2 3
b. \frac 2 3
c. 1
d. 0
Giả sử hàm chi phí của một doanh nghiệp là TC=Q^{3}-3Q+1 . Chi phí cận biên tại mức sản lượng Q = 3 là
Select one:
a. 19
b. 25
c. 20
d. 24
Đạo hàm cấp 2 của y=e^{-\frac{1}{x}} là:
Select one:
a. y^{"}=\frac{1}{x^{3}}⋅e^{-\frac{1}{x}}⋅ \left( \frac{1}{x}-2 \right)
b. y^{"}=\frac{1}{x^{2}}⋅e^{-\frac{1}{x}}
c. y^{"}=e^{-\frac{1}{x}}
d. y^{"}=\frac{1}{x}e^{-\frac{1}{x}} \left( \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{2} \right)
Cho hàm số y=\sqrt[]{-4x^{2}+7x-3} . Giá trị lớn nhất của hàm số là:
Select one:
a. 0
b. 1
c. 1/2
d. 1/4
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w = 3x^2-2xy+y^3 tại điểm (1, 2) là:
Select one:
a. 14
b. 6
c. 2
d. 10
Tính tích phân: I= \displaystyle \int\cos ^{4}x.dx
Select one:
a. \frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x+C
b. \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{16}\sin 4x+C
c. \frac{3}{8}x-\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{16}\sin 4x+C
d. \frac{-3}{8}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{16}\sin 4x+C
Cho hàm số y= \left( 2x-3 \right) ^{1982} xác định trên [2, 3]. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại:
Select one:
a. 3
b. 5/2
c. 2
d. 3/2
Miền xác định của hàm số w = 3x + 2\ln(x - 2y) là:
Select one:
a. với mọi (x, y)
b. \{(x, y): x - 2y \ge 0\}
c. \{(x, y): x - 2y \neq 0\}
d. \{(x, y): x - 2y > 0\}
Cho hàm số y = \sqrt{-3x^2 + 4x - 1}. Tập xác định của hàm số là:
Select one:
a. [\frac 1 3, 1]
b. [\frac 1 3, +\infty)
c. [ 1, +\infty)
d. (-\infty, \frac 1 3]
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}⋅dx
Select one:
a. \frac{1}{2}⋅e^{2x}+e^{x}+C
b. \frac{-1}{2}⋅e^{2x}+e^{x}+x+C
c. \frac{-1}{2}⋅e^{2x}-e^{x}+x+C
d. \frac{1}{2}⋅e^{2x}+e^{x}+x+C
Tính \displaystyle \int_0^1 \frac{dx}{e^x + 1}.
Select one:
a. 1+ \ln(e+1)+\ln 2
b. 1- \ln(e+1)+\ln 2
c. 1- \ln(e+1)-\ln 2
d. -1+ \ln(e+1)-\ln 2
Tính \displaystyle \int_{-1}^0 \frac{dx}{x^2 - 3x + 2}.
Select one:
a. \ln (\frac 5 6)
b. \ln (\frac 2 3)
c. \ln (\frac 4 3)
d. \ln (\frac 3 2)
Hàm số w=x^{2}+2xy-y^{2}+3x có điểm dừng là:
Select one:
a. M_{0} \left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{4} \right)
b. M_{0} \left( \frac{3}{4};\frac{3}{4} \right)
c. M_{0} \left( -\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right)
d. M_{0} \left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4} \right)
Đạo hàm riêng theo biến x của hàm số w=x^{4}+2x^{2}y-3\sin x+\sqrt[]{y} là:
Select one:
a. w'_{x}=4x^{3}+4xy-\cos x
b. w'_{x}=4x^{3}+4xy+3\cos x
c. w'_{x}=4x^{3}+4xy-3\cos x
d. w'_{x}=2x^{2}+\frac{1}{2\sqrt[]{y}}
Tính tích phân:I = \displaystyle \int \cos x. \cos 2x. \cos 3x.dx.
Select one:
a. \frac 1 4 x + \frac 1 8 \sin 2x + \frac 1 {16} \sin 4x + \frac 1 {24} \sin 6x + C
b. \frac 1 2 x - \frac 1 4 \sin 2x + \sin 4x - \cos 6x + C
c. x - \cos 2x - \sin 4x + \cos 6x + C
d. \frac 1 4 x - \frac 1 8 \sin 2x - \frac 1 {16} \sin 4x + \frac 1 {24} \sin 6x + C
Tính \displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^3 x}{\sin^3 x + \cos^3 x} dx.
Select one:
a. \pi/4
b. \pi/3
c. \pi/2
d. \pi
Tính tích phân: \displaystyle \int\frac{3x+2}{2x^{2}+x-3}⋅dx
Select one:
a. \ln \vert x-1 \vert +2\ln \vert 2x+3 \vert +C
b. \ln \vert x-1 \vert -2\ln \vert 2x+3 \vert +C
c. -\ln \vert x-1 \vert +\ln \vert 2x+3 \vert +C
d. \ln \vert x-1 \vert +\frac{1}{2}\ln \vert 2x+3 \vert +C
Tinh tích phân:
\displaystyle \displaystyle \int \frac{e^x ⋅dx}{e^x + 1}
Select one:
a. 2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
b. -2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
c. -\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
d. \ln \left( e^{x}+1 \right) +C
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=3x+2y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x^{2}+y^{2}=7 . Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange với hàm Lagrange L=3x+2y+ \lambda \left( 7-3x^{2}-y^{2} \right) ta biết hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm \left( x_{0}=-1;y_{0}=-2 \right) ứng với \lambda _{0}=-\frac{1}{2} . Nếu điều kiện ràng buộc được thay bằng phương trình 3x^{2}+y^{2}=8 thì giá trị cực đại của hàm số sẽ:
Select one:
a. tăng 1 đơn vị.
b. giảm 2 đơn vị.
c. giảm 1/2 đơn vị.
d. tăng 1/2 đơn vị.
Cho hàm số y = x. \ln 2x. Số điểm dừng của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Cho \displaystyle\int_0^3 f(x) dx = 9 và \displaystyle\int_0^4 f(z) dz = 5. Kết quả của tích phân \displaystyle I = \int_3^4 f(t) dt là:
Select one:
a. 4
b. –4
c. 10
d. –10
y=\sin \left( \sqrt[]{2x-1} \right) . Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = \cos \left( \sqrt[]{2x-1} \right)
b. y' = \sin \left( \frac{1}{\sqrt[]{2x-1}} \right)
c. y'= \cos \left( \frac{1}{\sqrt[]{2x-1}} \right)
d. y'=\frac{1}{\sqrt[]{2x-1}}⋅\cos \left( \sqrt[]{2x-1} \right)
Giá trị của hàm số w=\frac{3x+e^{y}}{2x+y} tại điểm (1, 0) là:
Select one:
a. 3/2
b. 2
c. 1
d. 1/2
Tính \displaystyle \int_0^1 \left(x^2 + x^{3/2}\right) dx.
Select one:
a. 19/15
b. 21/23
c. 11/15
d. 24/23
Tính \displaystyle \int_0^{2\pi} \sqrt{1 - \cos 2x} dx.
Select one:
a. 3\sqrt 2
b. 5\sqrt 2
c. 4\sqrt 3
d. 4\sqrt 2
Tích phân
I = \displaystyle \int_0^{\frac \pi 2} (e^{\sin x} + \cos x). \cos x dx.
có giá trị là:
Select one:
a. e + \frac \pi 4 - 1
b. e + \frac \pi 4 + 1
c. e - \frac \pi 4 + 1
d. e + \frac \pi 4 + 2
Hàm số w=x^{0,2}y^{0,5} có đạo hàm riêng cấp 2 w_{xy}^{''} là:
Select one:
a. 0,2x^{-0,8}y^{0,5}
b. 0,1x^{0,8}y^{0,5}
c. -0,1x^{-0,8}y^{-0,5}
d. 0,1x^{-0,8}y^{-0,5}
Cho hàm số y= \left( 5x-3 \right) ^{2}. \left( 4-7x \right) ^{3} . Số điểm dừng nhưng không phải là điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Tính tích phân:I = \displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}
Select one:
a. \ln \vert \cot \frac{x}{2} \vert +C
b. -\ln \vert \cot \frac{x}{2} \vert +C
c. \ln \vert \tan \frac{x}{2} \vert +C
d. -\ln \vert \tan \frac{x}{2} \vert +C
Khi giải bài toán tìm cực trị của hàm số w=x.y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x+y=12 , hàm Lagrange có các đạo hàm riêng cấp 1 là L'_{x} = y-3 \lambda ;L'_{y} =x- \lambda Khi đó, điểm dừng của hàm Lagrange L là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với:
Select one:
a. x_{0}=-2;y_{0}=6; \lambda _{0}=2
b. x_{0}=2;y_{0}=-6; \lambda _{0}=-2
c. x_{0}=2;y_{0}=6; \lambda _{0}=2
d. x_{0}=-2;y_{0}=6; \lambda _{0}=-2
Tính tích phân: I= \displaystyle \int e^{8x}.dx
Select one:
a. \frac{1}{8}e^{8x}+C
b. 8e^{8x}+C
c. e^{8x}+C
d. -e^{8x}+C
Cho hàm số y=\ln \left( 2x^{2}-4x+7 \right) . Số điểm tới hạn của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=2x+3y với điều kiện ràng buộc là phương trình x^{2}+3y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=2x+3y+ \lambda \left( 28-x^{2}-3y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L'_{x} =2-2 \lambda x;L'_{y} = 3-6 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với y_{0}=-2 và \lambda _{0} có giá trị là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. -1/4
d. 1/2
Giả sử hàm sản xuất ngắn hạn của một doanh nghiệp là Q=2\sqrt[]{L}. Cho biết giá của một đơn vị sản phẩm là p = $5, giá thuê một đơn vị lao động là wL = $1. Mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa là:
Select one:
a. 25
b. 36
c. 16
d. 49
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=3x+2y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x^{2}+y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=3x+2y+ \lambda \left( 28-3x^{2}-y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L'_{x} =3-6 \lambda x;L'_{y} = 2-2 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) khi đó:
Select one:
a. x_{0}=2y_{0}
b. x_{0}=-2y_{0}
c. y_{0}=2x_{0}
d. y_{0}=-2x_{0}
Tính \displaystyle \int_0^{\pi/6} \cos 3x dx.
Select one:
a. \frac 1 3
b. -\frac 1 3
c. 1
d. –1
Cho hàm số y= \left( 2x^{2}-5x+1 \right) .e^{-2x}. Số điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Một doanh nghiệp hoạt động trong thị trường cạnh tranh với giá bán một đơn vị sản phẩm là p = $40. Cho biết hàm chi phí của doanh nghiệp là: TC=3Q^{2}+4Q+30 Mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa là:
Select one:
a. 7
b. 6
c. 5
d. 4
Miền xác định của hàm số w=\frac{2x.\sin 3y-e^{y}}{x-y} là:
Select one:
a. \{(x,y):x-y=0\}
b. (x,y):x-y \neq 0\}
c. \{(x,y):x-y > 0\}
d. \{(x,y):x-y < 0\}
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=3x+2y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x^{2}+y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=3x+2y+ \lambda \left( 28-3x^{2}-y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L'_{x} =3-6 \lambda x;L'_{y} = 2-2 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với \lambda _{0}=-\frac{1}{4} và:
Select one:
a. x_0=4;y_0=2
b. x_0=-4;y_0=-2
c. x_0=2;y_0=4
d. x_0=-2;y_0=-4
Tính \displaystyle\int_0^2 |x^2 - x| dx.
Select one:
a. –1
b. 3
c. –3
d. 1
Tính tích phân: I= \displaystyle \int x.e^{3x}.dx
Select one:
a. \frac{1}{3}x.e^{3x}-\frac{1}{9}.e^{3x}+C
b. \frac{1}{3}x.e^{3x}+\frac{1}{9}⋅e^{3x}+C
c. \frac{1}{2}x.e^{3x}+\frac{1}{9}.e^{3x}+C
d. \frac{1}{2}x.e^{3x}-\frac{1}{9}⋅e^{3x}+C
Cho hàm số y = \sin(2x - 5). Đạo hàm y' là:
Select one:
a. y' = \cos(2x - 5)
b. y' = \sin(2)
c. y' = 2.\sin(2x - 5)
d. y' = 2.\cos(2x - 5)
Thực hiện giải bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Tại điểm dừng M_0(x_0, y_0, \lambda_0) của hàm số Lagrange, xét điều kiện đủ, ta có ma trận
|\overline{H}|= \left| \begin{array}{r r r} 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|
Khi đó, ta kết luận được: tại điểm x_0, y_0) hàm số
Select one:
a. đạt giá trị cực đại.
b. đạt giá trị cực tiểu.
c. không đạt cực trị.
d. có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tùy thuộc vào giá trị của \lambda_0.
Đạo hàm riêng theo biến y của hàm số w=\frac{x^{2}}{3x-2y} là:
Select one:
a. w'_{y}=\frac{2x \left( 3x-2y \right) -3x^{2}}{ \left( 3x-2y \right) ^{2}}
b. w'_{y}=\frac{-2x^{2}y}{ \left( 3x-2y \right) ^{2}}
c. w'_{y}=\frac{2x^{2}}{ \left( 3x-2y \right) ^{2}}
d. w'_{y}=\frac{2x^{2}}{3x-2y}
Cho hàm số y=\sqrt[]{x}.e^{-2x} . Khoảng tăng của hàm số là:
Select one:
a. R
b. \left( 0,\frac{1}{4} \right)
c. \left( \frac{1}{4},+\infty \right)
d. \left( 0,+\infty \right)
Đạo hàm của hàm số y = \sqrt[3]{5x^2 - 2x + 1} là:
Select one:
a. y' = \frac{10x - 2}{3 \sqrt[3]{(5x^2 - 2x + 1)^2}}
b. y' = \sqrt[3]{10x - 2}
c. y' = \frac 1 {3 \sqrt[3]{(5x^2 - 2x + 1)^2}}
d. y' = \frac{10x - 2}{3 \sqrt[3]{5x^2 - 2x + 1}}
Cho hàm số y=e^{-2x^{3}+5x^{2}-4x+1} . Số điểm cực trị của hàm số là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
Xét hàm sản xuất Q = f \left( K, L \right). Trong kinh tế học, giá trị f'_{K} \left(K_{0}, L_{0} \right) được gọi là:
Select one:
a. giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại điểm (K_0, L_0).
b. giá trị cận biên của tư bản tại điểm (K_0, L_0).
c. giá trị sản phẩm hiện vật cận biên của tư bản tại điểm (K_0, L_0).
d. giá trị cận biên của lao động tại điểm (K_0, L_0)
Hàm số w=f(x, y) có các đạo hàm riêng là w'_{x}=2mx+y-3;w_{y}^{'}=x-5 trong đó m là tham số. Điểm M_{0} \left( 5,-1 \right) là điểm dừng của hàm số w khi m có giá trị là:
Select one:
a. 5/2
b. 5
c. 2/5
d. -5
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=2x+3y với điều kiện ràng buộc là phương trình x^{2}+3y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=2x+3y+ \lambda \left( 28-x^{2}-3y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L'_{x} =2-2 \lambda x;L'_{y} = 3-6 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với y_{0}=-2 và \lambda _{0} có giá trị là:
Select one:
a. 1
b. 2
c. -1/4
d. 1/2
Xét hàm số 2 biến số w = f(x,y). Ký hiệu: a_{11},a_{12},a_{21},a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó, định thức D để xét điều kiện đủ của cực trị là:
Select one:
a. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|
b. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{22} \\ a_{12} & a_{21} \end{array}\right|
c. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{12} \end{array}\right|
d. D = \left|\begin{array}{c c} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{11} \end{array}\right|
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán tìm cực trị có điều kiện, ta biết rằng hàm Lagrange L có điểm dừng M_{0} \left( x_{0},y_{0},-\frac{1}{2} \right) và L_{xx}^{''}=-2 \lambda ;L_{xy}^{''}=L_{yx}^{''}=0;L_{yy}^{''}=-4 \lambda ;g_{x}^{'}= 3;g_{y}^{'}=1 . Khi đó tại điểm \left( x_{0},y_{0} \right) , hàm số với điều kiện đã cho:
Select one:
a. đạt giá trị cực đại.
b. đạt giá trị cực tiểu.
c. không đạt cực trị.
d. có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tùy thuộc vào giá trị của x_0, y_0.
Hàm số w=f(x, y) có các đạo hàm riêng là w'_{x}=2x+my-3;w'_{y} =mx-6y-5 trong đó m là tham số. Điểm M_{0} \left( 1,-1 \right) là điểm dừng của hàm số w khi m có giá trị là:
Select one:
a. -1
b. 1
c. 0
d. 1/2
Xét bài toán tìm cực trị của hàm số w=3x+2y với điều kiện ràng buộc là phương trình 3x^{2}+y^{2}=28 . Hàm Lagrange L=3x+2y+ \lambda \left( 28-3x^{2}-y^{2} \right) có các đạo hàm riêng cấp 1 L'_{x} =3-6 \lambda x;L'_{y} = 2-2 \lambda y. Hàm số L có điểm dừng là M_{0} \left( x_{0},y_{0}, \lambda _{0} \right) với \lambda _{0}=-\frac{1}{4} và:
Select one:
a. x_0=4;y_0=2
b. x_0=-4;y_0=-2
c. x_0=2;y_0=4
d. x_0=-2;y_0=-4
Xét hàm số 2 biến số w=f \left( x,y \right) có các đạo hàm riêng: w'_{x}=3x^{2}-2y-1;w'_{y} = -2x+2y . Biết rằng điểm M_{0} \left( -\frac{1}{3},-\frac{1}{3} \right) là điểm dừng của hàm số, khi đó điểm dừng M_{0} :
Select one:
a. là điểm cực đại của hàm số.
b. là điểm cực tiểu của hàm số.
c. không là điểm cực trị của hàm số.
d. có thể là điểm cực đại hoặc điểm cực tiểu của hàm số.
Tính tích phân: I= \displaystyle \int \left( x^{2}-2x+\frac{4}{x} \right) .dx
Select one:
a. \frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4\ln \vert x \vert +C
b. \frac{x^{3}}{3}-x^{2}+4\ln \vert x \vert +C
c. 2x-2-\frac{4}{x^{2}}+C
d. 2x+2+\frac{4}{x^{2}}+C
Tính tích phân: \displaystyle\int \left( 3x+1 \right) ^{8}⋅dx
Select one:
a. \frac{1}{27}⋅ \left( 3x+1 \right) ^{9}+C
b. \frac{-1}{27}⋅ \left( 3x+1 \right) ^{9}+C
c. 24⋅ \left( 3x+1 \right) ^{7}+C
d. -24⋅ \left( 3x+1 \right) ^{7}+C
Tinh tích phân:
\displaystyle \displaystyle \int \frac{e^x ⋅dx}{e^x + 1}
Select one:
a. 2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
b. -2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
c. -\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
d. \ln \left( e^{x}+1 \right) +C
Kết quả đúng của tích phân: I= \displaystyle \int \left( x^{2}+x+1 \right) .\ln x.dx
Select one:
a. \left( \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x- \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
b. \left( \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
c. \left( \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
d. \left( \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x \right) ⋅\ln x+ \left( \frac{x^{3}}{9}+\frac{x^{2}}{4}+x \right) +C
Tính tích phân: \displaystyle \int\frac{x+1}{x^{2}-7x+10}⋅dx
Select one:
a. 2\ln \vert x-5 \vert -\ln \vert x-2 \vert +C
b. 3\ln \vert x-5 \vert -2\ln \vert x-2 \vert +C
c. -3\ln \vert x-5 \vert +2\ln \vert x-2 \vert +C
d. -2\ln \vert x-5 \vert +\ln \vert x-2 \vert +C
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{dx}{1-\cos 2x}
Select one:
a. -\cot x+C
b. \cot x+C
c. -\frac{1}{2}\cot x+C
d. \frac{1}{2}\cot x+C
Tính tích phân: \displaystyle \int \frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}⋅dx
Select one:
a. -\sin x+\cos x+C
b. \sin x-\cos x+C
c. -\sin x-\cos x+C
d. \sin x+\cos x+C
Tính tích phân:
\displaystyle I = \displaystyle \int \frac {dx}{1+ \sqrt[3]{x + 1}}
Select one:
a. \frac 3 2 (x + 1)^{2/3} + 3\sqrt{x + 1} + 3 \ln |1 + \sqrt[3]{x + 1} + C
b. \frac 3 2 (x + 1)^{2/3} - 3\sqrt{x + 1} + 3 \ln |1 + \sqrt[3]{x + 1} + C
c. \frac 3 2 (x + 1)^{2/3} - 3\sqrt{x + 1} - 3 \ln |1 + \sqrt[3]{x + 1} + C
d. -\frac 3 2 (x + 1)^{2/3} + 3\sqrt{x + 1} - 3 \ln |1 + \sqrt[3]{x + 1} + C
Tính tích phân: I= \displaystyle \int x.\ln x.dx
Select one:
a. \frac{-1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4}x^{2}+C
b. \frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4}x^{2}+C
c. x^{2}\ln x-\frac{1}{2}x^{2}+C
d. x^{2}\ln x+\frac{1}{2}x^{2}+C
Tính tích phân: I = \displaystyle \int e^{x}⋅\sin x⋅dx
Select one:
a. \frac{e^{x}⋅ \left( \sin x+\cos x \right) }{2}+C
b. \frac{-e^{x}⋅ \left( \sin x+\cos x \right) }{2}+C
c. \frac{e^{x}⋅ \left( \sin x-\cos x \right) }{2}+C
d. \frac{e^{x}⋅ \left( \cos x-\sin x \right) }{2}+C
Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange giải bài toán tìm cực trị có điều kiện, ta biết rằng hàm Lagrange L có điểm dừng M_{0} \left( x_{0},y_{0},\frac{1}{2} \right) và L_{xx}^{''}=-2 \lambda ;L_{xy}^{''}=L_{yx}^{''}=0;L_{yy}^{''}=-4 \lambda ;g_{x}^{'}= 3;g_{y}^{'}=-1 . Khi đó tại điểm \left( x_{0},y_{0} \right) , hàm số với điều kiện đã cho:
Select one:
a. đạt giá trị cực đại.
b. đạt giá trị cực tiểu.
c. không đạt cực trị.
d. có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tùy thuộc vào giá trị của x_0, y_0.
Tinh tích phân:
\displaystyle \displaystyle \int \frac{e^x ⋅dx}{e^x + 1}
Select one:
a. 2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
b. -2\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
c. -\ln \left( e^{x}+1 \right) +C
d. \ln \left( e^{x}+1 \right) +C
Xét hàm số hai biến số w = f(x, y). Ký hiệu: D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}.a_{22} - a_{12}.a_{21} với a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} lần lượt là giá trị của các đạo hàm riêng cấp 2 w''_{xx}, w''_{xy}, w''_{yx}, w''_{yy} tính tại điểm dừng M_0(x_0, y_0). Khi đó, điều kiện đủ để điểm M_0(x_0, y_0) là điểm cực tiểu của hàm số w là:
Select one:
a. D < 0; a_{11} < 0
b. D > 0; a_{11} > 0
c. D > 0; a_{11} < 0
d. D < 0; a_{11} > 0
Tính \displaystyle \int_0^{\pi} \cos^4 x dx.
Select one:
a. \pi/4
b. 2\pi/3
c. 3\pi/8
d. \pi/2
